確率の勉強 - 技術をかじる猫

確率のキーワード周りを勉強してみる。
一般的な概念として分かりやすい例なので、サイコロを例に考えてみる。

試行と事象

とりえる値をランダムに1回抽出することを試行という

import numpy as np

dice = np.array([1, 2, 3, 4, 5, 6])  # サイコロの取りえる値 = 標本空間
print(np.random.choice(dice))    # 試行

そして結果としてランダムに一つ出現する。

こうした個々の結果を事象という。
具体的には個々の結果を 基本事象 といい、発生し得るすべての基本自称を集めた集合（上記だと dice 変数）を 標本空間 という。
この標本空間の一部（1個の場合≒基本事象も含む）を指して言う場合に事象という。

事象の計算周り

空集合も事象としてみなすことができ、これを 空事象 という。サイコロでいうと、 7 が出る確率なんて存在しないので、空事象とみなせる。
ある事象を $K$ （仮に、2, 4, 6 の事象と仮定）したとき、これ以外の取りえる値 (1, 3, 5) を 余事象 といい、 $c$ を使って表す

$K = \{ 2, 4, 6 \} \\ K^c = \{ 1, 3, 5 \}$

また、二つの事象を

$A = \{ 2, 4, 6 \} \\ B = \{ 1, 2, 5, 6 \}$

としたとき、 積事象 (両方の事象に含まれる事象)を $A \cap B$ 、和事象 (両方の事象の集合) を $A \cup B$ と記述する。

$A \cap B = \{ 2, 6 \} \\ A \cup B = \{ 1, 2, 4, 5, 6 \}$

またそれぞれ発生する確率を次の様に書く（ $P$ は確率で用いる一般的な名称）

$P(X) = \frac{1}{6} 基本事象の発生確率 \\ P( \phi ) = 0 空事象の発生確率 \\ P(A \cap B) = \frac{1}{3} 積事象の発生確率 \\ P(A \cup B) = \frac{5}{6} 和事象の発生確率$

条件付確率

はい、高校で理系を選択してれば習う項目です。
事象 A が発生した後に事象 B が発生する確率等、前提の付く確率を 条件付確率 といい

$P(B|A) = P_A(B) = \frac{P(A \cup B)}{P(A)}$

の様に表し、 $P(A) > 0$ のときは以下の様にもできる。

$P(A \cup B) = P(B | A)P(A)$

サイコロを 2 回振って、1回目が偶数(A)が、2回目が 5 以上(B)が出る確率を計算すると

$A =\{ 2, 4, 6 \}, B = \{ 5, 6 \} \\ P(A) = \frac{3}{6} \\ P(B) = \frac{2}{6} \\ P(A \cap B) = P(\{ 6 \}) = \frac{1}{6} \\ P(B|A) = \frac{ \frac{1}{6} }{ \frac{3}{6} } = \frac{1}{6} \cdot \frac{6}{3} = \frac{1}{3}$

※ A/B は互いに独立した事象（相互の作用がない事象）なので実は特殊ケース

独立と従属

次の関係を持つ事象 A, B は、互いに独立である（定義）

$P(A|B) = P(A)$

B の事象が A の事象に影響を与えていない状況である。
これは ↑ の計算でも同じ事象が起きてる。（↑ の条件付確率の例だと、サイコロを振って偶数が出る確率は 2 回目にのサイコロで 5 以上が出る確率には影響していない）

$P(A \cup B) = P(B | A)P(A)$

この式に当てはめると

$P(A \cup B) = P(B | A)P(A) = P(B)P(A)$

なので、条件付き確率の例でも一致する。
この式が成立しない場合というのは、事象 A、B に何らかの因果関係があるということで、従属するという。

従属している場合を考えると、「くじ」を考える。「当たりが2本、ハズレが2本の計4本があり、自分はくじ引きの列の2番目にいる。前の人が当たりを引いた上で、自分もアタリを引く可能性は？」

$P(A) = \frac{1}{2} … 前の人が当たりを引く可能性 \\ P(B) = \frac{1}{3} … 自分が当たりを引く可能性 \\ P(A \cap B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6} … A, B が両方起こる確率 \\ P_A(B) = \frac{ \frac{1}{6} }{ \frac{1}{2} } = \frac{1}{3}$

モンティホール問題

3 つのドア A, B, C のうちいずれか 1 つのドアの向こうに賞品が無作為に隠されている。挑戦者はドアを 1 つだけ開けて、賞品があれば、それをもらうことができる。挑戦者がドアを選ぶと、司会者は残った 2 つのドアのうちはずれのドアを 1 つ無作為に開ける。このとき、挑戦者は開けるドアを変更することができるこの時、挑戦者は司会者の開けた後にドアを変更すべきか？