数学回続き - 技術をかじる猫

white-azalea.hatenablog.jp

この辺の続き。

二つのベクトル A, B において、B に対して A 方向から垂直に光が当たったと仮定する。
この時、影となった部分のベクトルを「射影」という。

この射影の長さは、垂直の三角形の関係から計算できるので、内積角が分かっているなら

$a = \vec{OA} , b=\vec{OB} とし、その射影 \vec{OH} の長さは、 \\ \| a \| cos \theta$

また、内積を利用して射影をベクトルとして処理する場合

$\vec{OH} = \| a \| cos \theta * \frac{b}{\| b \|} \\ = \| a \| \frac {a^Tb}{\|a\|\|b\|} * \frac{b}{\| b \|} \\ = \frac{a^Tb}{\|b\|^2}b$

で、これが何の役に立つか…って「影」って言ってるよね（汗
ゲームでおなじみの影の処理で普通に使われております。

行列計算のブロック化

例えば次の様な行列 A, B について、 AB を求めたいとしたとき

$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 2 \\ & 1 & 1 & 1 \\ & & 1 & 1 \\ & & 1 & 1 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 & 1 \\ & 1 & 1 & 1 \\ & & 2 & 1 \\ & & 1 & 1 \end{pmatrix}$

このような行列のドット積を考えるとき

$A_{11} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ & 1 \end{pmatrix}, A_{12} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \\ A_{21} = \begin{pmatrix} & \\ & \end{pmatrix}, A_{22} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \\$

同様に

$B_{11} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ & 1 \end{pmatrix}, B_{12} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \\ B_{21} = \begin{pmatrix} & \\ & \end{pmatrix}, B_{22} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$

と分割し、 $AB$ を考えると

$AB = \begin{pmatrix} A_{11}B_{11} + A_{12}B{21} & A_{11}B_{12} + A_{12}B{22} \\ A_{21}B_{11} + A_{22}B{21} & A_{21}B_{12} + A_{22}B{22} \end{pmatrix}$

の式に展開できる。
これを順に計算していく。

左上をまず計算すると

$A_{11}B_{11} + A_{12}B{21} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} & \\ & \end{pmatrix} \\ = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

こんなノリで残りを計算して

$AB = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 6 & 5 \\ 0 & 1 & 4 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 3 & 2 \end{pmatrix}$

検算してみると

import numpy as np

a = np.array([
    [1,1,1,2],
    [0,1,1,1],
    [0,0,1,1],
    [0,0,1,1]
])
b = np.array([
    [2,1,1,1],
    [0,1,1,1],
    [0,0,2,1],
    [0,0,1,1]
])
print(a.dot(b))

[[2 2 6 5]
 [0 1 4 3]
 [0 0 3 2]
 [0 0 3 2]]

と、正しく計算された。